玩掃雷還有什么技巧？科學家的玩游戲方法你絕對想不到

有時，小編回憶起童年和青春，眼前總是浮現(xiàn)出一片碧藍碧藍的天空和嫩得出水的草地，以及以前在那上面和小伙伴們度過的愉快的時光……

當然，你們別想錯了

我說的藍天和草地是指這個

為了防止被打小編選擇提前爆頭蹲防

WindowsXP確實承載很多的記憶，而且XP這個系統(tǒng)也是真的經(jīng)用。WindowsXP于2001年8月24日正式發(fā)布，微軟在2014 年 4 月 8 日才停止了對 Windows XP 桌面版系統(tǒng)的支持服務(wù)，一直到這周二，2019 年 4 月 9 號，運行在嵌入式設(shè)備上的最后的一批WindowsXP才失去微軟的官方支持。XP們終于正式對我們saygoodbye了。[1]

經(jīng)典的掃雷游戲

提起 XP，不得不說操作系統(tǒng)自帶的諸如掃雷，紙牌這一類的經(jīng)典游戲真的經(jīng)典，好玩又殺時間。如果可以統(tǒng)計全人類花在這上面的時間，估計肯定是一個天文數(shù)字。。。不過盡管掃雷大家玩的時間很長，玩的次數(shù)也很多，但是我猜99%的玩家肯定沒思考過，自己玩掃雷為啥那么容易就死了。。。

對比一下別人家的孩子玩掃雷的速度

圖片經(jīng)過加速。如果你想看真正目前世界上掃雷最快的記錄的話，可以去[2]圍觀

再看看自己玩掃雷的樣子…

差不多就是這種水平，剛點到掃雷圖標雷就已經(jīng)炸了

雖然XP已經(jīng)離我們而去，但是萬幸的是Win10系統(tǒng)還能夠在商店中直接搜索「minesweeper」下載官方重置了的掃雷游戲，重新體會以前的經(jīng)典。

其實吧，掃雷這個游戲很多科學家也愛玩。不過一般人玩掃雷如果死得快，就不斷重開重開重開直到碰到一個好的開局（然后又快速地死掉）?？茖W家就不一樣，如果他們玩掃雷死得快，他們不會重開，他們會直接證明「這個游戲通關(guān)概率為 0」。

掃雷畢竟已經(jīng)有這么長的歷史了，分析掃雷游戲求解概率的論文都有一大堆。作為一個熟練點擊掃雷重開鍵的手殘掃雷玩家，今天我就來和大家系統(tǒng)地聊一聊掃雷的背后的故事。

掃雷秘籍

Minesweeping cheat sheet

天下武功，無堅不摧，唯快不破！

從數(shù)學上來看，掃雷就相當于一個不斷給你已知條件不斷求解的過程，就像一個不斷增加條件的應(yīng)用題。你可以通過左鍵點開確定不是雷的塊，右鍵標記你認為是雷的區(qū)域。如果你點開的這一塊不是雷，那么它會告訴你這塊區(qū)域周圍八格內(nèi)有幾顆雷。只要你點得足夠快，雷就追不上你。

通過很簡單的反證法，我們可以推出來很大一部分雷所在的位置。[3]

角落上的情形

所謂反證法，就是反過來想這個問題。如果存在這么一個向內(nèi)凹的角，內(nèi)部的都是空白，但是角落上是一個1，那么這個角上一定會有一顆雷。因為如果這個地方再不是雷的話，那中間的1所指的雷就只能去流浪了。。。同理，一條邊上如果有3的話，那和3挨著的這三個一定是雷。畢竟地雷兄弟們也不能擠一擠挪到一個格子上去。

位于邊界時候的情形

除了這個反證法以外，在掃雷里還有很多固定的「套路」。學會這個套路，保證你掃雷功力大增，殺進小區(qū)掃雷五百強。

聽起來好像很厲害的樣子

在掃雷的時候其實經(jīng)常會遇到一些固定的數(shù)字，比如三個連續(xù)的數(shù)字為 121，此時想都不用想，就可以直接在 121 兩個 1 的正對方向標上雷?；蛘咚膫€連續(xù)的數(shù)字1221，此時兩個 2 的正對方向上也一定是雷。

121情形下，由于左側(cè)1的限制，在黃色區(qū)域內(nèi)只能有一格雷，但是中間的2至少要求2格雷，所以粉色的那顆一定是雷。同理證明另外一側(cè)

1221情形下，和上面證明過程相同，由于1的限制導致在黃色區(qū)域內(nèi)只能有1格雷，所以另一個2正對的方格一定是雷。

「小編小編，我有個問題，那121221呢？按照秘籍填雷的話中間那個1附近有兩顆雷誒？」

似乎有問題的秘籍？

「這種情況是不可能的！左邊數(shù)起三個1已經(jīng)覆蓋了上面的所有未知空格，所以地雷數(shù)至多只有3個。但下方顯示地雷數(shù)為1+2+2+1+2+1，在只有中間5個格子重復計數(shù)的情況下都到了7，大于3的2倍。所以這種圖形是不可能存在的！」

咳咳，把思路收回來，如上所述，掃雷確實是有一些套路的。每日熟讀此掃雷秘籍，假以時日，掃雷技藝必將大成。

掃雷還是運氣活

Lucky or not，it’s a question

玩掃雷，你必須要接受，這是一款拼人品的游戲。

雖然人生已經(jīng)如此地艱難，但我還是要無情地拆穿這一點。想必你此時已經(jīng)熟練掌握了掃雷的套路，不過在有些時候你還是要面對猜雷這種事情，而且一招不慎，滿盤皆輸。。。

猜猜黃色部分的雷應(yīng)該是怎么分布的？

圖中黃色部分就是典型的需要猜的掃雷難題。根據(jù)角落里面的數(shù)字，我們都只能知道 1×2 的黃色部分里面一定只有一個雷，不過我們并不知道哪個才是雷。如果沒有其它信息的話，我們辛辛苦苦大半個棋盤，最后通過這個地雷陣的概率還是只有1/8。

這種簡單的判斷還好，有些時候還會遇到一些藏得更加隱晦的猜的時候。

掃雷判斷題

假設(shè)在我們的掃雷過程中遇到了這么一個圖案，確實是一件欲哭無淚的事情。不知道怎么哭的可以先把眼淚準備好，小編馬上就告訴你們?yōu)樯兑?。。。從左邊開始，假設(shè)第一個空位有雷，那么第二個空位沒有雷，因為空位中間1的存在從而第三個空位有雷，依次類推。但是如果是第一個空位沒有雷，而第二個空位有雷，我們也說得通。都要踩地雷了，還整個這么復雜的難題，至于么。。。

別急，后面還有更加復雜的。這里的x和之后的*號上是否有雷的情況一直相同，所以這個地雷陣就像一根傳遞信號的導線一樣。在掃雷的地圖上，我們不僅僅能夠做出這種簡單的傳遞信號的導線，其實還能夠?qū)崿F(xiàn)所有的電子電路中的邏輯門的操作。[4,5]

非門電路

或門電路

這是兩個「簡單」的邏輯門，分別實現(xiàn)了將信號翻轉(zhuǎn)的非門和將兩路信號做或操作的或門。在另一個也很著名的沙盒游戲——《我的世界（Minecraft）》里面，玩家也可以通過游戲中的材料，紅石（其實在此之前的 Windows 10 操作系統(tǒng)的每一年的更新代號就是用紅石來命名），實現(xiàn)各種各樣的復雜邏輯操作，更有玩家利用紅石在Minecraft里制造出了真正能運行的計算機。。。

紅石計算機，具有完整的寄存器，加法器等部件 [6]

算了，我已經(jīng)不敢想象掃雷會變成什么樣了。。。

判斷有沒有解都是一件很難的事情

Find solution

回到文章最開始，我們?nèi)巳テ平庖粋€掃雷問題的話，很容易就會死掉了，那把這個問題交給計算機來做會怎么樣？然而很遺憾的是，一般情況下，計算機目前對掃雷這個問題還是無能為力。。。

難過

稍微值得慶幸的是，在我們平時玩的比較小的棋盤下，計算機還可以通過搜索得到答案。

為了了解計算機處理問題難度的幾個級別，有必要先知道一個概念——多項式時間。對于同一個算法，根據(jù)處理問題大小的不同，計算機一般來說需要不同的時間進行計算。用最直觀的例子來說，小明要去洗衣服，他洗 1 件衣服的時間為 2 分鐘，洗 5 件衣服的時間為 10 分鐘，洗 10 件衣服的時間為 20 分鐘，處理問題的時間隨問題規(guī)模的變化為線性關(guān)系，一次多項式。現(xiàn)在我們假設(shè)小明還是要洗衣服，只不過現(xiàn)在的衣服比較特殊，他洗1件這種衣服的時間為2分鐘，但洗5件的時間變?yōu)?2分鐘，洗10件的時間變?yōu)?024分鐘，這個時候就是指數(shù)關(guān)系的，而不再是多項式了。評價一個算法，隨著問題規(guī)模的增大，計算時間怎么增長是一個十分重要的指標。

在計算機里面，對于多項式級別的時間，我們還是認為很快的。如果把問題按照求解的難度來進行分類的話，P 是指能夠用多項式時間求解的問題，俗話說就是算起來很快的問題。NP 是指算起來不一定快，但是任何答案我們都可以檢查起來很快的問題。NP完全問題，是比所有NP問題都要難的NP問題。雖然人們有個美好的想法，總覺得驗算起來很快的應(yīng)該可以找到辦法讓他算起來很快，但目前還是個未知數(shù)。。。[7]

很不幸，求解一個掃雷游戲的解，正好是一個NP完全問題——在能夠輕松驗證結(jié)果是否正確的問題里面最難的那一類。這一類問題目前為止人們還沒有發(fā)現(xiàn)多項式時間的求解算法，通常只有指數(shù)級甚至階乘級的搜索算法來解決。

用來顯示液晶數(shù)字的邏輯電路。我們可以很方便地一個一個試，但是反過來卻很難，尤其是在這個邏輯電路非常龐大的時候

掃雷游戲?qū)儆谝粋€如此困難的問題，其原因就出在上一章提到的，可以把掃雷游戲看做一個個邏輯門進行運算的邏輯電路。給定一個邏輯電路，在已知輸出結(jié)果的情況下，能否確定每個輸入的值？這個問題被稱為SAT 問題，是世界上第一個被證明其為 NP 完全的問題。[8]這種問題驗證起來非常容易，你只需要把結(jié)果代入到邏輯電路中，馬上能知道是否符合要求，但倒過來想要計算符合結(jié)果的輸入就極端地麻煩。

求解掃雷游戲的結(jié)果，利用那些構(gòu)造的邏輯門，恰恰等價于求解SAT問題。[9]

掃雷還和滲透有關(guān)系

Precolation

液體，圖片來自 Giphy，Michael Shillingburg

其實我們在玩掃雷游戲的時候覺得很難，其實還有另外一個原因。這個原因和物理里面的滲透還有關(guān)系。

在上個世紀 60 年代，科學家們 [10] 發(fā)現(xiàn)在流體流過多孔的介質(zhì)的時候，介質(zhì)中的空洞總是會被堵塞，有時候就會影響流體流出。更為奇怪的是，當這些多孔的介質(zhì)的孔隙被隨機堵塞的比例逐漸增大而達到某一值時，一開始一直能夠流動的流體就突然被完全堵住。在孔洞被隨機堵住的概率發(fā)生變化時，液體流過的比率也會發(fā)生一個突變。

這種現(xiàn)象被稱為逾滲（precolation）。[11]

遇到這種情況，你該怎么下手

在掃雷里面，也存在類似逾滲的現(xiàn)象。當一盤游戲里面的地雷密度特別低的時候，我們差不多隨便點，都不會點到地雷，而是點到大片大片的空白，一下子就把問題解決了。但是當?shù)乩酌芏仍龈咭院?，在增大到一定程度以后，即使我們理性地分析，從不瞎猜，也不可能把掃雷問題做對了。

針對不同的棋盤大小，有人計算了在不同地雷密度情況下獲勝的概率。三角形對應(yīng)的曲線為初級8×8，正方形為15×13，菱形為高級，30×16。這里的能否求解實際上不包括第一次隨機點擊的時候踩中雷的概率。[12]

我們把流體通過多孔介質(zhì)逾滲的模型抽象出來的話，其實對應(yīng)著點逾滲，也就是把整個介質(zhì)想象成一個網(wǎng)絡(luò)，流體在經(jīng)過每個網(wǎng)格時，有概率p的可能通過。如果不能流過的網(wǎng)格在網(wǎng)絡(luò)中連成了片，流體就不能流過了。

不嚴格地來說，求解掃雷問題其實和逾滲模型很類似，我們求解的過程其實也像推土機一樣，不斷地利用已有的知識將已知區(qū)域向外一層一層地推進。如果游戲中某處雷的密度越大，那么越有可能出現(xiàn)可解部分被雷分開的情況，地雷密度和逾滲參數(shù)起到了一樣的作用。如果被分隔到無法連接整個棋盤，那就無法繼續(xù)推理了。更為嚴格的證明可以參考ElchananMossel的論文。[13]

推土機，圖片來自網(wǎng)絡(luò)

隨著網(wǎng)格的不斷增大，這條勝率曲線中間部分也變得越來越陡峭，掃雷問題越來越向兩個極端發(fā)展：要不就根本解不出來，要不就是很容易地就能解出來。在高級模式下，地雷的密度其實已經(jīng)到了99/480=0.2，能夠解出來的概率已經(jīng)不到1/4，這還不算手抖了點錯了，開局不好重開之類的情況，真的不算是友好了。

結(jié) 論

Conclusion

emoji 版本掃雷 [14]

相信看到這里的人

一定已經(jīng)躍躍欲試想要玩一下掃雷了

我相信你們

天下無難事，只要肯放棄

卸載也行